Statistik und Umfragen - Das FDP-Problem der Demoskopen

Ich weiß nicht, wo Sie diesen Text gerade lesen. Vielleicht sitzen Sie in einem Meeting, das gerade etwas schleppend verläuft. Vielleicht sitzen Sie in der U-Bahn. Vielleicht genießen Sie einen Kaffee in der Sonne. Aber wo auch immer es ist: Schauen Sie mal auf die Leute, die um Sie herumsitzen. Sagen wir einfach mal, um Sie herum seien gerade 10 Leute. 5 Männer und 5 Frauen. Wir rechnen im Kopf den Frauenanteil aus: 50%. Jetzt suchen Sie sich einmal 2 von den 10 Leuten aus – zufällig. Und jetzt zwei andere. Und jetzt noch mal zwei andere.

Und – wie hoch waren die Frauenanteile in den drei Stichproben, die Sie gerade zufällig gezogen haben? Mit ziemlicher Wahrscheinlichkeit waren sie jedenfalls unterschiedlich. Vielleicht hatten Sie in einem Fall zwei Männer erwischt. In einem anderen Fall zwei Frauen. In einem anderen Fall ein gemischtes Paar.

Insgesamt gibt es in diesem einfachen Beispiel 45 mögliche Stichproben der Größe. Also 45 verschiedene Möglichkeiten, zwei Personen aus der Grundmenge der 10 Personen auszuwählen: 25 davon sind gemischte Paare, 10 sind reine Männer- und die restlichen 10 reine Frauenpaare. 25 Stichproben liefern also einen Frauenanteil von 50%. In dem Fall also entspricht der Frauenanteil in der Stichprobe genau dem wahren Wert in der Grundgesamtheit. 25 von 45 – das sind 55,6% aller möglichen Stichproben. In 44,4% der Fälle resultiert in den Stichproben dagegen ein anderer Frauenanteil, der nicht bei 50, sondern entweder bei 0% oder aber bei 100% liegt, jedenfalls nicht bei 50%.

Dabei machen wir nichts „falsch“, im Gegenteil: Wir ziehen ganz sauber zufällige Stichproben, wie es im Lehrbuch steht. Die Abweichungen vom wahren Frauenanteil in der Grundgesamtheit sind einzig und allein der statistische Preis dafür, dass wir nur eine Stichprobe (von zwei Leuten) haben, aber etwas über eine größere Gruppe (nämlich alle 10) aussagen möchten. Dabei treten zwangsläufig Abweichungen auf – nicht immer, aber eben manchmal. Schauen Sie noch einmal auf die Leute in Ihrer (gedachten) Umgebung.

Dabei ist das Beispiel wirklich einfach. Schließlich wissen wir ja, dass in der Grundgesamtheit genau fünf Männer und fünf Frauen sind. Daher können wir auch all die Wahrscheinlichkeiten so schön ausrechnen. Aber was, wenn dem nicht so wäre?

Einmal angenommen, wir wüssten nur, dass im Raum nebenan zehn Leute sitzen. Aber wir wissen nicht, wie viele Männer und Frauen darunter sind, obwohl wir das so gerne wissen würden. Nun kommen zwei Leute aus dem Raum – ein Mann und eine Frau. Und wir fragen uns: Wie wird die Geschlechterverteilung im Raum nebenan wohl tatsächlich und insgesamt aussehen? Vielleicht war die ursprüngliche Verteilung 5:5, ehe die zwei Leute rauskamen. Vielleicht war sie aber auch 4:6? Oder gar 1:9? Letzteres ist vielleicht nicht sehr wahrscheinlich, aber doch möglich. Wir wissen es nicht.

Und das ist genau die Situation, vor der die Demoskopen derzeit tagtäglich stehen.

In einer Befragung von 1000 Wählern bei der bevorstehenden Bundestagswahl mögen 55 Befragte angeben, dass sie die FDP wählen wollen, also 5,5%. Das ist das Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Hätten wir anstelle dieser 1000 Wähler 1000 andere befragt, wären darunter vielleicht 65 FDP-Wähler gewesen: 6,5%. Hätten wir wieder andere 1000 Wähler zufällig ausgewählt und befragt, wären darunter vielleicht nur 45 FDP-Wähler gewesen: 4,5%. All das ist möglich, ja sogar recht wahrscheinlich.

Und wir stochern dabei im Nebel, denn wir kennen den „wahren“ Anteil der FDP-Wähler in der Wählerschaft in Deutschland natürlich nicht (ansonsten bräuchten wir ja die Umfrage nicht.), obwohl wir genau den wissen wollen!

Dazu ein Beispiel: Das ZDF hat gestern in seinem jüngsten Politbarometer für die FDP 5,5% der Stimmen vermeldet. Unterstellen wir mal, dass in der Umfrage exakt dieser Wert gemessen worden ist: 5,5% derer, die am Sonntag zur Wahl gehen wollen und die in der Befragung eine Partei genannt haben, nannten als Wahlabsicht die FDP.

Wie wahrscheinlich wäre ein solcher Wert in der Umfrage, wenn in der Grundgesamtheit eigentlich ein Wert für die FDP von 4,0% gilt? Das können wir für den Moment einfach mal unterstellen. Wir ziehen also Stichproben – siehe oben – aus einer Grundgesamtheit deutscher Wähler, von denen wir wissen (oder zumindest annehmen), dass 4,0% von ihnen FDP wählen. Rund ein Prozent aller möglichen Stichproben liefern in diesem Fall in der Umfrage einen Wert von mindestens 5,5% für die FDP, obwohl eigentlich ein Wert von 4,0% „richtig“ wäre.

Unterstellen wir für die Gesamtheit der Wähler nicht 4,0%, sondern 4,5%, dann produzieren sogar 6% aller Stichproben, die wir aus einer solchen Grundgesamtheit ziehen, Werte von mindestens 5,5%. Und würde in Wahrheit in der Grundgesamtheit sogar ein Wert von 4,99% der Stimmen für die FDP gelten, so würden sogar 25% aller Stichproben Werte liefern, die die FDP bei mindestens 5,5% der Stimmen sehen würden – obwohl es draußen in Wahrheit 4,99% sind.

Das sind genau die Preise, die man für Stichprobenziehungen in dieser Größenordnung zu zahlen hat. Und das Problem ist und bleibt dabei: Es gab gestern ein einziges Politbarometer. Natürlich können wir darauf hoffen, dass dem gestrigen Politbarometer eine „gute“ Stichprobe zugrunde liegt, dass der Zufall uns also so kurz vor dem Wahltag kein Schnippchen geschlagen hat, uns nicht in die Irre geführt hat. Aber vielleicht haben wir ja doch eine ungünstige Stichprobe erwischt, die die FDP bei 5,5% der Stimmen sieht, obwohl dem in Wahrheit nicht so ist. Das wäre zugegebenermaßen ärgerlich für das ZDF, ist aber nicht auszuschließen.

Ist das relevant? Ja. Denn die politischen Folgen können dramatisch sein – bei Politikern, aber auch bei Wählern, immerhin gilt bei alle dem das alte Thomas-Prinzip: „A situation perceived as real is real in its consequences“. 5,5% - da könnte so mancher CDU-Wähler denken, dass ein Stimmenverleih an die FDP nicht mehr nötig sei.

Aber würden Sie darauf verzichten, eine Versicherung abzuschließen, wenn immerhin eine Chance von 25 Prozent besteht, dass doch alles ganz anders (und zu Ihren Ungunsten) sein könnte? Wobei ja auch alles ganz anders sein könnte – 5,5% könnte auch eine massive Unterschätzung des wahren FDP-Werts in Deutschland sein, vielleicht liegt er ja bei 6 oder gar sieben Prozent. Wir wissen es eben nicht genau. Und das sollte man den Wählerinnen und Wähler auch sagen.

Man muss dem ZDF hoch anrechnen, dass sie gestern zumindest versucht haben, diese – rein statistisch bedingte Idee – von Unsicherheiten nicht nur zu kommunizieren, sondern auch zu visualisieren. Aber ob das ankommt? Letztlich suggerieren doch die 5,5% - gerade auch angesichts der angegebenen Nachkommastelle – die Präzision einer Schweizer Uhr. Auch wenn es keine ist.